f = s l o g e ( z ) {\displaystyle f={\rm {slog}}_{\rm {e}}(z)} trong mặt phẳng z phức.

Như tetration (hoặc siêu mũ) s e x p b ( z ) := z b {\displaystyle {\rm {sexp}}_{b}(z):={{^{z}}b}} bị nghi ngờ là một hàm phân tích,[2] ít nhất là đối với một số giá trị của   b   {\displaystyle ~b~} , hàm nghịch đảo s l o g b = s e x p b − 1 {\displaystyle {\rm {slog}}_{b}={\rm {sexp}}_{b}^{-1}} cũng có thể là phân tích. Hành vi của   s l o g b ( z )   {\displaystyle ~{\rm {slog}}_{b}(z)~} , được định nghĩa theo cách như vậy, phức tạp   z   {\displaystyle ~z~} mặt phẳng được phác họa trong hình 1 cho trường hợp   b = e   {\displaystyle ~b=e~} . Các mức giá trị nguyên của giá trị thực và số nguyên của các phần ảo của các hàm slog được hiển thị với các dòng dày. Nếu sự tồn tại và tính độc đáo của phần mở rộng phân tích của tetration được cung cấp bởi các điều kiện của phương pháp tiệm cận của nó đến điểm cố định L ≈ 0.318 + 1.337   i {\displaystyle L\approx 0.318+1.337{\!~{\rm {i}}}} và L ∗ ≈ 0.318 − 1.337   i {\displaystyle L^{*}\approx 0.318-1.337{\!~{\rm {i}}}} của L = ln ⁡ ( L ) {\displaystyle L=\ln(L)} [3] ở phần trên và phần dưới của mặt phẳng phức, thì hàm nghịch đảo cũng phải là duy nhất. Một chức năng như vậy là có thật ở trục thực. Nó có hai điểm nhánh tại   z = L   {\displaystyle ~z=L~} và   z = L ∗ {\displaystyle ~z=L^{*}} . Nó tiếp cận giá trị giới hạn của nó − 2 {\displaystyle -2} trong vùng lân cận của phần âm của trục thực (tất cả các dải giữa các vết cắt được hiển thị bằng các đường màu hồng trong hình) và từ từ mọc lên theo hướng tích cực của trục thực. Vì đạo hàm tại trục thực là dương, nên phần ảo của slog vẫn dương ngay trên trục thực và âm ngay dưới trục thực. Sự tồn tại, tính độc đáo và khái quát đang được thảo luận.[4]